证明对称矩阵A为正定的充分必要条件是:存在可逆阵U,使A=UTU,即A与单位阵E合同.

admin2020-11-13  54

问题 证明对称矩阵A为正定的充分必要条件是:存在可逆阵U,使A=UTU,即A与单位阵E合同.

选项

答案充分性([*]):若存在可逆矩阵U,使A=UTU,则任取x∈Rn,x≠O,就有Ux≠O,且 f(x)=xTAx=xTUTUx=[Ux,Ux]=‖Ux‖>0, 即矩阵A的二次型是正定的,从而可由定义知,A是正定矩阵. 必要性([*]):因A是对称阵,必存在正交阵Q,使QTAQ=A=diag(λ1,λ2,…,λn),其中,λ1,λ2,…,λn是A的n个特征值,但A为正定矩阵,故λi>0,i=1,2,…,n. 记对角阵A1=diag[*],则有 [*] 从而可得A=QAQT=QA1A1QT=(QA1)(QA1)T, 记U=(QA1)T,显然U可逆,并且由上式知A=UTU.

解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/8faRFFFM
0

最新回复(0)