2. 考研
  3. 已知A，B为三阶非零方阵， 为齐次线性方程组BX=0的3个解向量，且AX=β3有非零解． (1)求a，b的值； (2)求BX=0的通解．

已知A，B为三阶非零方阵， 为齐次线性方程组BX=0的3个解向量，且AX=β3有非零解． (1)求a，b的值； (2)求BX=0的通解．

admin2016-12-16  79
问题 已知A，B为三阶非零方阵，

为齐次线性方程组BX=0的3个解向量，且AX=β3有非零解．
(1)求a，b的值；
(2)求BX=0的通解．
选项
答案(1)因B≠0，故r(B)≥1，因而BX=0的基础解系所含解向量的个数为 n一r(B)≤3—1=2个， 而β1 ，β2 ，β3均是BX=0的解，故β1 ，β2 ，β3必线性相关，于是 |β1 ，β2 ，β3|=[*] 解得a=3b．又Ax=β3有非零解，即β3可由A的3个列向量 [*] 线性表示，由观察易看出 α3=3α1+2α2． 可见，风可由α1 ，α2线性表示，因此β3 ，α1 ，α2线性相关，于是 |β3 ，α1 ，α2|=[*] 解得b=5，从而a=15． (2)由题设r(B)≥1，于是3一r(B)≤2，又已知β1 ，β2为BX=0的两个线性无关的解，故 3一r(B)≥2，所以3一r(B)=2，β1 ，β2即可作为BX=0的基础解系，故通解为 X=k1β1+k2β2 (k1 ，k2为任意常数)．
解析 因r(B)≥1，故β1 ，β2 ，β3必线性相关．又由AX=β3知，β3可表示为A的3个列向量的线性组．由这两个线性关系式可求出a，b．
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考研数学三

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