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设A,B,C,D是4个四阶矩阵,其中A≠O,|B|≠0,|C|≠0,D≠O,且满足ABCD=O.若r(A)+r(B)+r(C)+r(D)=r,则r的取值范围是( ).
设A,B,C,D是4个四阶矩阵,其中A≠O,|B|≠0,|C|≠0,D≠O,且满足ABCD=O.若r(A)+r(B)+r(C)+r(D)=r,则r的取值范围是( ).
admin
2016-11-03
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问题
设A,B,C,D是4个四阶矩阵,其中A≠O,|B|≠0,|C|≠0,D≠O,且满足ABCD=O.若r(A)+r(B)+r(C)+r(D)=r,则r的取值范围是( ).
选项
A、r<10
B、10≤r≤12
C、12<r<16
D、r≥16
答案
B
解析
由ABCD=(AB)(CD)=0得到
r(AB)+r(CD)≤4.
而B,C为满秩矩阵,故
r(AB)=r(A),r(CD)=r(D).
于是r(A)+r(D)≤4.又A≠O,D≠O,有
r(A)≥1, r(D)≥1,
则2≤r(A)+r(D)≤4.又r(B)=r(C)=4,故
10=2+8≤r(A)+r(B)+r(C)+r(D)≤4+8=12. 仅(B)入选.
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考研数学一
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