设α1=(1,3,5,一1)T,α2=(2,7,a,4)T,α3=(5,17,一1,7)T. ①若α1,α2,α3线性相关,求α. ②当a=3时,求与α1,α2,α3都正交的非零向量α4. ③设a=3,α4是与α1,α2,α3都正交的非零向量,证明α1,α

admin2016-07-29  55

问题 设α1=(1,3,5,一1)T,α2=(2,7,a,4)T,α3=(5,17,一1,7)T
①若α1,α2,α3线性相关,求α.
②当a=3时,求与α1,α2,α3都正交的非零向量α4
③设a=3,α4是与α1,α2,α3都正交的非零向量,证明α1,α2,α3,α4可表示任何一个4维向量.

选项

答案①α1,α2,α3线性相关,则r(α1,α2,α3)<3. (α1,α2,α3)=[*] 得a=一3. ②与α1,α2,α3都正交的非零向量即齐次方程组 [*] 的非零解,解此方程组: [*] 解得α4=c(19,一6,0,1)T,c≠0. ③只用证明α1,α2,α3,α4线性无关,此时对任何4维向量α,有α1,α2,α3,α4,α线性相关,从而α可以用α1,α2,α3,α4线性表示. 由①知,a=3时,α1,α2,α3线性无关,只用证明α4不能α1,α2,α3线性表示.用反证法,如果α4能用α1,α2,α3线性表示,设α4=c1α1+c2α2+c3α3,则(α4,α4)=(α4,c1α1+c2α2+c3α3)=c14,α1)+c24,α2)+c34,α3)=0.得α4=0,与α4是非零向量矛盾.

解析
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