2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，f(1/2)=1，f(1)=0.证明： (1)存在η∈(1/2，1)，使得f(η)=η； (2)对任意的k∈(-∞，+∞)，存在ξ∈(0，η)，使得f′(ξ)-k[f(ξ)-ξ]=1.

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，f(1/2)=1，f(1)=0.证明： (1)存在η∈(1/2，1)，使得f(η)=η； (2)对任意的k∈(-∞，+∞)，存在ξ∈(0，η)，使得f′(ξ)-k[f(ξ)-ξ]=1.

admin2022-08-19  25
问题 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，f(1/2)=1，f(1)=0.证明：
(1)存在η∈(1/2，1)，使得f(η)=η；
(2)对任意的k∈(-∞，+∞)，存在ξ∈(0，η)，使得f′(ξ)-k[f(ξ)-ξ]=1.
选项
答案(1)令φ(x)=f(x)-x，φ(x)在[0，1]上连续，φ(1/2)=1/2＞0，φ(1)=-1＜0， 由零点定理，存在η∈(1/2，1)，使得φ(η)=0，即f(η)=η. (2)设F(x)=e-kxφ(x)，显然F(x)在[0，η]上连续，在(0，η)内可导，且F(0)=F(η)=0， 由罗尔定理，存在ξ∈(0，η)，使得F′(ξ)=0，整理得 f′(ξ)-k[f(ξ)-ξ]=1.
解析
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考研数学三

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