已知矩阵A是n阶正定矩阵，证明：A﹣1是正定矩阵．

admin2020-06-05 24

问题已知矩阵A是n阶正定矩阵，证明：A^﹣1是正定矩阵．

选项

答案因为A正定，所以A^T＝A，那么(A^﹣1)^T＝(A^T)^﹣1＝A^﹣1，于是A^﹣1是对称矩阵．方法一 (用特征值)设矩阵A^﹣1的特征值是λ₁，λ₂，…，λ_n，则矩阵A的特征值是[*]．由A正定，知其特征值[*]﹥0(i＝1，2，…，n)，从而矩阵A^﹣1的特征值是λ_i﹥0(i＝l，2，…，n)全大于0．因此矩阵A^﹣1正定．方法二因为矩阵A正定，故存在可逆矩阵C使C^TAC＝E，那么 (C^TAC)^﹣1＝C^﹣1A^﹣1(C^T)^﹣1＝C^﹣1A^﹣1(C^﹣1)^T＝E 所以A^﹣1与E合同，故A^﹣1正定．方法三 (用定义)注意到对于任意非零向量x，有 x^TA^﹣1x＝x^T(A^﹣1AA^﹣1)x＝(x^TA^﹣1)A(A^﹣1x)＝(A^﹣1x)^TA(A^﹣1x)﹥0(A^﹣1x≠0) 从而A^﹣1正定．方法四因为A正定，那么A对称且可逆，于是A^TA^﹣1A＝A，所以A^﹣1与A合同，进而二次型x^TAx与x^TA^﹣1x有相同的正、负惯性指数．因此，由x^TAx是正定二次型，可知x^TA^﹣1x也为正定二次型，故A^﹣1正定．

解析

转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/8E9RFFFM

考研数学一

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

已知矩阵A是n阶正定矩阵，证明：A﹣1是正定矩阵．

考研数学一

设f(u)连续，则d2／dx2∫0xdu∫u1vf(u2－v2)dv=_______．

设A，B为n阶矩阵，则下列结论正确的是()．

设F1(x)与F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x)与f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是()

设n维列向量组α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，则n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件为()

设A是m×n矩阵，则方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是()

已知四阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为四维列向量，其中α1，α2线性无关，若α1+2α2—α3=β，α1+α2+α3+α4=β，2α1+3α2+α3+2α4=β，k1，k2为任意常数，那么Ax=β的通解为()

设齐次线性方程组的系数矩阵为A，且存在3阶方阵B≠O，使AB=O，则

设α1，α2，α3，α4为四维非零列向量组，令A=(α1，α2，α3，α4)，AX=0的通解为X=k(0，一1，3，0)T，则A*X=0的基础解系为()

设A，B为正定矩阵，C是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是()．

已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，α1，α2是对应齐次线性方程组Ax=0的基础解系，k1，k2为任意常数，则方程组Ax=b的通解必是

理想信念之所以能够成为一种推动人生实践和社会生活的巨大力量，就是由于它

什么是唐传奇?唐传奇创作分哪几个时期?有哪些代表作家和作品?

_______又称为存储单元，是工作表中整体操作的基本单位。

原发性扩张型心肌病在超声心动图上有什么表现?

A、天南星B、桔梗C、旋覆花D、半夏E、白芥子治风痰所致的眩晕，中风口眼歪斜，癫痫，破伤风用（）

以下佛塔中，属于密檐式塔的有()。

《星岛日报》

A、Heoftenborrowsmoneyfromothers.B、Hehasjustreceivedhismonthlypay.C、Hecan’tpayoffhiscreditcards.D、Hehaskept