2. 考研
  3. 设函数f(x)与g(x)在区间[a，b)]上连续且均单调增加，证明： ∫abf(x)dx∫abg(x)dx≤(b一a)∫abf(x)g(x)dx．

设函数f(x)与g(x)在区间[a，b)]上连续且均单调增加，证明： ∫abf(x)dx∫abg(x)dx≤(b一a)∫abf(x)g(x)dx．

admin2020-03-05  5
问题 设函数f(x)与g(x)在区间[a，b)]上连续且均单调增加，证明：
    ∫abf(x)dx∫abg(x)dx≤(b一a)∫abf(x)g(x)dx．
选项
答案作F(x)=∫axf(t)dt∫axg(t)dt－(x－a)∫axf(t)g(t)dt，有F(a)=0， F’(x)=f(x)∫axg(t)dt+g(x)∫axf(t)dt－∫axf(t)g(t)dt－(x－a)f(x)g(x) =∫axf(x)g(t)dt+∫axf(t)g(x)dt－∫axf(t)g(t)dt－∫axf(x)g(x)dt =∫ax[f(x)－f(t)][g(t)－g(x)]dt 由于a≤t≤x且f(x)与g(x)均单调增加，故可知F’(x)＜0．又x＞a，于是有F(b)＜F(a)=0．证毕．
解析
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考研数学一

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