2. 考研
  3. 已知连续函数f(x)满足∫0xf(t)dt+∫0xtf(x一t)dt=ax2． (I)求f(x)； (Ⅱ)若f(x)在区间[0，1]上的平均值为1，求a的值．

已知连续函数f(x)满足∫0xf(t)dt+∫0xtf(x一t)dt=ax2． (I)求f(x)； (Ⅱ)若f(x)在区间[0，1]上的平均值为1，求a的值．

admin2021-01-19  45
问题 已知连续函数f(x)满足∫0xf(t)dt+∫0xtf(x一t)dt=ax2．
(I)求f(x)；
(Ⅱ)若f(x)在区间[0，1]上的平均值为1，求a的值．
选项
答案(I)令u=x一t，则t=x—u，dt=一du．因此 ∫0xtf(x-t)dt=∫0x(x-u)f(u)du=x∫0xf(u)du—∫0xuf(u)du 从而∫0xf(t)dt+∫0xtf(x一t)dt=ax2可转化为 ∫0xf(t)dt+x∫0xf(u)du—∫0xuf(u)du=ax2 将上式两边关于x求导，得 f(x)+∫0xf(u)du+xf(x)一xf(x)=2ax 即 f(x)+∫0xf(u)du=2ax 将上式两边关于x求导，得 f’(x)+f(x)=2a． 由通解公式，可求得上述一阶非齐次线性微分方程的通解为 f(x)=e-∫1dx(∫2ae∫1dx+C)=e-x(C+2a∫exdx) =e-x(2aex+C)． 又f(0)=0，则可得C=一2a．因此 f(x)=2a(1一e-x)． (Ⅱ)由于[*]．则有 ∫012a(1-e-x)dx=(2ax+2ae-x)|01=2ae-1=1． [*]
解析
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考研数学二

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