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设函数f(x)在[0,π]上连续,且∫0πf(x)dx=∫0πf(x)cosxdx=0。试证明在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,使(ξ1)=f(ξ2)=0。
设函数f(x)在[0,π]上连续,且∫0πf(x)dx=∫0πf(x)cosxdx=0。试证明在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,使(ξ1)=f(ξ2)=0。
admin
2018-01-30
71
问题
设函数f(x)在[0,π]上连续,且∫
0
π
f(x)dx=∫
0
π
f(x)cosxdx=0。试证明在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ
1
,ξ
2
,使(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0。
选项
答案
令F(x)=∫
0
x
f(t)dt,0≤x≤π,则有F(0)=0,F(π)=0。又因为 0=∫
0
π
cosxdx=∫
0
π
cosxdF(x) =F(x)cosx|
0
π
+∫
0
π
F(x)sinxdx =∫
0
π
F(x)sinxdx, 所以存在ξ∈(0,π),使F(ξ)sinξ=0,不然,则在(0,π)内F(x)sinx恒为正或恒为负,与∫
0
π
F(x)sinxdx=0矛盾,但当ξ∈(0,π)时,sinξ≠0,故F(ξ)=0。 由以上证得,存在满足0<ξ<π的ξ,使得 F(0)=F(ξ)=F(π)=0, 再对F(x)在区间[0,ξ],[ξ,π]上分别用罗尔定理知,至少存在ξ
1
∈(0,ξ),ξ
2
∈(ξ,π),使得 F
’
(ξ
1
)=F
’
(ξ
2
)=0,且f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0。
解析
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0
考研数学二
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