设f(x)在(-∞,+∞)连续,以T为周期,令F(x)=∫0xf(x)dt,求证: (Ⅰ)F(x)一定能表示成:F(x)=kx+φ(x),其中k为某常数,φ(x)是以T为周期的周期函数; (Ⅱ)∫0xf(t)dt=∫0Tf(x)dx; (Ⅲ)若又有f(x)

admin2021-11-09  46

问题 设f(x)在(-∞,+∞)连续,以T为周期,令F(x)=∫0xf(x)dt,求证:
(Ⅰ)F(x)一定能表示成:F(x)=kx+φ(x),其中k为某常数,φ(x)是以T为周期的周期函数;
(Ⅱ)0xf(t)dt=0Tf(x)dx;
(Ⅲ)若又有f(x)≥0(x∈(-∞,+∞)),n为自然数,则当nT≤x<(n+1)T时,有
n∫0Tf(x)dx≤∫0xf(t)dt<∫0T(n+1)f(x)dx.

选项

答案(Ⅰ)即确定常数k,使得φ(x)=F(x)-kx以T为周期.由于 φ(x+T)=F(x+T)-k(x+T)=∫0xf(x)dt-kx+∫0x+Tf(t)dt-kT =φ(x)+∫0Tf(t)dt-kT, 因此,取k=[*]∫0Tf(t)dt,φ(x)=F(x)-kx,则φ(x)是以T为周期的周期函数.此时 F(x)=[ [*]∫0Tf(t)dt]x+φ(x). (Ⅱ)不能用洛必达法则.因为[*]不存在,也不为∞.但∫0x(t)dt可表示成 ∫0x(t)dt=[*]∫0Tf(t)dt+φ(x). φ(x)在(-∞,+∞)连续且以T为周期,于是,φ(x)在[0,T]有界,在(-∞,+∞)也有界.因此 [*] (Ⅲ)因f(x)≥0,所以当nT≤x<(n+1)T时, n∫0Tf(t)dt=∫0nTf(t)≤∫0xf(t)<∫0(n+1)Tf(t)dt=(n+1)∫0Tf(t)

解析
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