设f(χ)在(0，＋∞)内一阶连续可微，且对χ∈(0，＋∞)满足∫01f(χt)dt＝2∫01f(t)dt＋χf(χ)＋χ3，又f(1)＝0，求f(χ).

admin2014-12-09 47

问题设f(χ)在(0，＋∞)内一阶连续可微，且对

χ∈(0，＋∞)满足∫₀¹f(χt)dt＝2∫₀¹f(t)dt＋χf(χ)＋χ³，又f(1)＝0，求f(χ).

选项

答案令u＝χt，则原方程变换为∫₀^χf(u)du＝2∫₀^χf(t)dt＋χf(χ)＋χ³，两边对χ求导得f(χ)＝2f(χ)＋f(χ)＋χf′(χ)＋3χ²，整理得f′(χ)＋[*]f(χ)＝－3χ.此微分方程的通解为f(χ)＝[*].由f(1)＝0，得C＝[*]，所以f(χ)＝[*].

解析

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考研数学二

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