[2010年] (I)比较∫01∣lnt∣[ln(1+t)]ndt与∫01tn∣lnt∣dt(n=1,2,…)的大小,并说明理由;(Ⅱ)记un=∫01∣lnt∣[ln(1+t)]ndt(n=1,2,…),求极限un.

admin2021-01-19  60

问题 [2010年]  (I)比较∫01∣lnt∣[ln(1+t)]ndt与∫01tn∣lnt∣dt(n=1,2,…)的大小,并说明理由;(Ⅱ)记un=∫01∣lnt∣[ln(1+t)]ndt(n=1,2,…),求极限un.

选项

答案 利用定积分性质即命题1.3.2.5解(I). 下面只解(I),(Ⅱ).为此先证:当0≤x≤l时,ln(1+x)≤x. 令g(x)=ln(1+x)一x,则当0≤x≤1时,g′(x)=1/(1+x)一1≤0,所以g(x)≤g(0)=0,即ln(1+x)一x≤0,亦即ln(1+x)≤x. 先比较区间[0,1]上的被积函数.由0<ln(1+t)<t(0<t<1)得到 lnn(1+t)<tn (0<t<1;n=1,2,3,…), ln∣t∣lnn(1+t)<tn∣lnt∣ (0<t<1). 又 [*]∣lnt∣lnn(1+t)<[*]lnt=[*]lnt=0, 令f(t)=∣lnt∣lnn(1+t),h(t)=tn∣lnf∣,可补充定义f(0)=0,h(0)=0,则f(t),h(t)在[0,1]上连续,且f(t)≤h(t),但f(t)[*]h(t).由命题1.3.2.5(3)知 ∫01f(t)dt<∫01h(t)dt, 即∫01∣lnt∣lnn(1+t)dt<∫01tn∣lnt∣dt.

解析
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