2. 考研
  3. 设η1，η2，η3为3个n维向量，AX=0是n元齐次方程组。则（ ）正确．

设η1，η2，η3为3个n维向量，AX=0是n元齐次方程组。则（ ）正确．

admin2017-11-22  56
问题 设η1，η2，η3为3个n维向量，AX=0是n元齐次方程组。则（     ）正确．
选项 A、如果η1，η2，η3都是AX=0的解，并且线性无关，则η1，η2，η3为AX=0的一个基础解系．
B、如果η1，η2，η3都是AX=0的解，并且r(A)=n—3，则η1，η2，η3为AX=0的一个基础解系．
C、如果η1，η2，η3等价于AX=0的一个基础解系，则它也是AX=0的基础解系．
D、如果r(A)=n—3，并且AX=0每个解都可以用η1，η2，η3线性表示，则η1，η2，η3为AX=0的一个基础解系．
答案D
解析 (A)缺少n—r(A)=3的条件．
(B)缺少η1，η2，η3线性无关的条件．
(C)例如η1，η2是基础解系η1+η2=η3，则η1，η2，η3和η1，η2等价，但是η1，η2，η3不是基础解系．
要说明(D)的正确性，就要证明η1，η2，η3都是AX=0的解，并且线性无关．方法如下：
设α1，α2，α3是AX =0的一个基础解系，则由条件，α1，α2，α3可以用η1，η2，η3线性表示，于是
3≥r（η1，η2，η3）=r（η1，η2，η3，α1，α2，α3）≥r（α1，α2，α3）=3，
则    r（η1，η2，η3)=r（η1，η2，η3，α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3)=3，
于是η1，η2，η3线性无关，并且和α1，α2，α3等价，从而都是AX=0的解．
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考研数学三

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