设曲线L的参数方程为x=φ(t)=t—sint,y=ψ(t)=1一cost(0≤t≤2π)。 (Ⅰ)求证:由L的参数方程可以确定连续函数y=y(x),并求它的定义域; (Ⅱ)求曲线L与x轴所围图形绕),轴旋转一周所成旋转体的体积V。

admin2020-04-21  54

问题 设曲线L的参数方程为x=φ(t)=t—sint,y=ψ(t)=1一cost(0≤t≤2π)。
(Ⅰ)求证:由L的参数方程可以确定连续函数y=y(x),并求它的定义域;
(Ⅱ)求曲线L与x轴所围图形绕),轴旋转一周所成旋转体的体积V。

选项

答案(1)由已知可得 φ’(t)=1一cost≥0,φ(0)=0,φ(2π)=2π, 则φ(t)在[0,2π]上单调增加,且值域为[φ(0),φ(2π)]=[0,2π]。 由x=φ(t)=t—sint在[0,2π]上连续可知其在[0,2π]上存在连续的反函数t=φ—1(x),且定义域为[0,2π]。所以y(x)=ψ[φ—1(x)]在[0,2π]上连续。 (Ⅱ)由旋转体的体积公式(绕y轴旋转),有 V=2π∫0xydx=2π∫0(t一sint)(1一cost)2dt=2π∫0t(1一cost)2dt, 令t=2w—s,则 V=2π∫0(2π—s)(1一coss)2ds=4π20(1一coss)2ds—V, [*] 上式中,∫0sint(1一cost)2dt=∫—ππsint(1一cost)2dt=0由周期函数与奇函数的积分性质直接得出。 [*]

解析
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