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  3. 设y(x)是方程y(4)-y’’=0的解，且当x→0时，y(x)是x的3阶无穷小，求y(x)．

设y(x)是方程y(4)-y’’=0的解，且当x→0时，y(x)是x的3阶无穷小，求y(x)．

admin2016-07-22  60
问题 设y(x)是方程y(4)-y’’=0的解，且当x→0时，y(x)是x的3阶无穷小，求y(x)．
选项
答案由泰勒公式 y(x)=y(0)+y’(0)x+[*]y’’’(0)x3+o(x3) (x→0)． 当x→0时，y(x)与x3同阶则y(0)=0，y’(0)=0，y’’(0)=0，y’’’(0)=C，其中C为非零常数． 由这些初值条件，现将方程y(4)-y’’=0两边积分得 [*] 即y’’(x)-C-y’(x)=0，两边再积分得y’’(x)-y(x)=Cx． 易知，它有特解y*=-Cx，因此它的通解是y=C1ex+C2e-x-Cx． 由初值y(0)=0，y’(0)=0得C1+C2=0，C1-C2=C，即C1=[*] 因此最后得y=[*]，其中C为非零常数．
解析
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考研数学一

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