2. 考研
  3. 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T，是线性方程组Ax=0的两个解， (1)求A的特征值与特征向量； (2)已知正交变换x=Qy，把二次型f=xTAx化为标准形，求矩阵Q和A。

设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T，是线性方程组Ax=0的两个解， (1)求A的特征值与特征向量； (2)已知正交变换x=Qy，把二次型f=xTAx化为标准形，求矩阵Q和A。

admin2021-04-16  62
问题 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T，是线性方程组Ax=0的两个解，
    (1)求A的特征值与特征向量；
    (2)已知正交变换x=Qy，把二次型f=xTAx化为标准形，求矩阵Q和A。
选项
答案(1)由题设，可知Aα1=0=0α1，Aα2=0=0α2，所以λ1=λ2=0是A的二重特征值，α1，α2是A的属于特征值0的两个线性无关的特征向量；又A的各行元素之和均为3，所以 [*] 即λ3=3是A的一个特征值，α3=(1，1，1)T是A的属于特征值3的特征向量。 因此，A的特征值为0，0，3，属于特征值0的所有特征向量为k1α1+k2α2(k1，k2是不全为零的任意实数)，属于特征值3的所有特征向量为k3α3(k3为任意非零实数)。 (2)先将α1，α2正交化，令ζ1=α1=(-1，2，-1)T，ζ2=α2-(α1，ζ1)ζ2／(ζ1，ζ1)=(1／2)(-1，0，1)T，再将ζ1，ζ2，α3单位化，得 β1=ζ1／‖ζ1‖=[*](-1，2，-1)T，β2=ζ2／‖ζ2‖=[*](-1，0，1)T，β3=α3／‖α3‖=[*](1，1，1)T，所以正交矩阵Q=1(β1，β2，β3)，即 Q=[*] 又记D=[*]， 则QTAQ=D，所以A=QDQT=[*]。
解析
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考研数学三

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