设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),则随机变量Z=Y-X的概率密度fz(z)= ( )

admin2016-09-19  72

问题 设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),则随机变量Z=Y-X的概率密度fz(z)=    (    )

选项 A、∫-∞+∞f(x,z-x)dx
B、∫-∞+∞f(x,x-z)dx
C、∫-∞+∞f(x,z+x)dx
D、∫-∞+∞f(-x,z+x)dx

答案C

解析 记Z的分布函数为FZ(z),则
FZ(z)=P{Z≤z}=P{Y-X≤z}=(x,y)dxdy
=∫-∞+∞dx∫-∞x+zf(x,y)dy,①
其中Dz={(x,y)|y-x≤z}如图3-1的阴影部分所示,
-∞x+zf(x,y)dy-∞zf(x,u+x)du.②
将②代入①得
FZ(z)=∫-∞+∞dx∫-∞zf(x,u+x)du=∫-∞zdu∫-∞+∞f(x,u+x)dx:
于是fZ(z)==∫-∞+∞f(x,z+x)dx.
因此本题选(C).
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