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  3. 已知实矩阵A的伴随矩阵 若矩阵B满足ABA-1=一BA-1+2E，求B．

已知实矩阵A的伴随矩阵 若矩阵B满足ABA-1=一BA-1+2E，求B．

admin2019-07-10  44
问题 已知实矩阵A的伴随矩阵
       
若矩阵B满足ABA-1=一BA-1+2E，求B．
选项
答案先将题设方程化简，再代入具体数值进行矩阵运算．注意到所给方程含有公因式，且公因子A-1可逆．应先消去公因子，化简过程中需用到下列公式： ∣A*∣=∣A∣n-1，AA*=∣A∣E． 当A可逆时，A*一∣A∣A-1． 解一 为消去题设方程两边的公因子，在其两边右乘A得到 AB=一B+2A， 即AB+B一2A=0． ① 另求得[*]，故由∣A*∣=∣A∣n-1=∣A∣4-1=∣A∣3=一8，故∣A∣=一2． 为在方程中化未知为已知，在方程①两边同时左乘A*，利用A*A=∣A∣E=一2E得到一2B=一A*B—4E，即(A*一2E)B=一4E．由∣A*一2E∣≠0可知，A*一2E可逆，故 B=一4(A*一2E)-1 [*] 由“两调一除”的方法易得 [*] 解二 由ABA-1=一BA-1+2E得到AB=一B+2A， (A+E)B一2(A+E)=一2E， 即(A+E)(B一2E)=一2E． 因而[*]，即 BA一2A+B=0 ② 由式①与式②得到AB=BA，于是ABA-1=BAA-1=B． 又由题设有ABA-1=一BA-1+2E，故B=ABA-1=一BA-1+2E，即 [*] 而∣A∣=一2，所以 [*] 而[*]，用“两调一除”的方法易求得 [*] 解三 由解一知∣A∣=一2，则AA*=∣A∣E=一2E． 在上式两边同时右乘(A*)-1得到A=一2(A*)-1，则 [*] 将题设等式ABA-1=BA-1+2E化简得到 (A+E)BA-1=2E． 因A+E可逆，在上式两边同时左乘(A+E)-1，右乘A得 [*]
解析
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考研数学二

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