设总体Xi服从正态分布N(μi,σi2),与Si2分别是取自总体Xi的样本均值与样本方差,i=1,2,且X1与X2相互独立. (Ⅰ)求证,S12,,S22相互独立; (Ⅱ)如果μ1=μ2μ,令αi=,i=1,2,求统计量Y=的数学期望.

admin2019-07-19  19

问题 设总体Xi服从正态分布N(μi,σi2),与Si2分别是取自总体Xi的样本均值与样本方差,i=1,2,且X1与X2相互独立.
    (Ⅰ)求证,S12,S22相互独立;
    (Ⅱ)如果μ1=μ2μ,令αi,i=1,2,求统计量Y=的数学期望.

选项

答案(Ⅰ)由于([*],S12)与([*],S22)分别取自两个相互独立的正态总体样本,所以它们相互独立,又因正态总体的样本均值与样本方差相互独立,所以[*]与S12相互独立,[*]与S22也相互独立.对于任意实数a,b,c,d有 P{[*]≤a,S12≤b,[*]≤c,S22≤d}=P{[*]≤a,S12≤b}P{[*]≤c,S22≤d} =P{[*]≤a}P{S12≤b}P{[*]≤c}P{S22≤d}, 于是[*],S12,[*],S22相互独立. (Ⅱ)从(Ⅰ)可知αi与[*]相互独立,i=1,2,依题意α1+α2=1,从而 EY=[*] =μ(Eα1+Eα2)=μE(α1+α2)=μ.

解析
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