证明:f(x,y)=Ax2+2Bxy+Cy2在约束条件g(x,y)=1-=0下有最大值和最小值,且它们是方程k2-(Aa2+Cb2)k+(AC-B2)a2b2=0的根.

admin2016-09-13  56

问题 证明:f(x,y)=Ax2+2Bxy+Cy2在约束条件g(x,y)=1-=0下有最大值和最小值,且它们是方程k2-(Aa2+Cb2)k+(AC-B2)a2b2=0的根.

选项

答案因为f(x,y)在全平面连续,1-[*]=0为有界闭区域,故f(x,y)在此约束条件下必有最大值和最小值. 设(x1,y1),(x2,y2)分别为最大值点和最小值点,令 L(x,y,λ)=Ax2+2Bxy+Cy2+λ(1-[*]), 则(x1,y1),(x2,y2)应满足方程 [*] 记相应乘子为λ1,λ2,则(x1,y1,λ1)满足 (A-[*])x1+By1=0,Bx1+(c-[*])y1=0, 解得λ1=Ax12+2Bx1y1+Cy12.同理λ2=Ax22+2Bx2y2+Cy22. 即λ1,λ2是f(x,y)在椭圆[*]=1上的最大值和最小值. 又方程组①和②有非零解,系数行列式为0,即 [*]-B2=0. 化简得 λ2-(Aa2+Cb2)λ+(AC-B2)a2b2=0, 所以λ1,λ2是上述方程(即题目所给方程)的根.

解析
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