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记曲面z=x2+y2一2x-y在区域D:x≥0,y≥0,2x+y≤4上的最低点P处的切平面为π,曲线在点Q(1,1,一2)处的切线为l,求点P到直线l在平面π上的投影l’的距离d.
记曲面z=x2+y2一2x-y在区域D:x≥0,y≥0,2x+y≤4上的最低点P处的切平面为π,曲线在点Q(1,1,一2)处的切线为l,求点P到直线l在平面π上的投影l’的距离d.
admin
2015-07-04
54
问题
记曲面z=x
2
+y
2
一2x-y在区域D:x≥0,y≥0,2x+y≤4上的最低点P处的切平面为π,曲线
在点Q(1,1,一2)处的切线为l,求点P到直线l在平面π上的投影l’的距离d.
选项
答案
由z
x
’=2x一2=0,z
y
’=2y一1=0,得驻点为[*],在驻点处A=z
xx
’’=2,B=z
xy
’’=0,C=z
yy
’’=2,△=B
2
一AC=一4<0,且A>0,所以[*]为极小值,而驻点唯一,故[*]为曲面的最低点,曲面在P处的切平面π的方程为[*]曲面x
2
+y
2
+z
2
=6在点Q(1,1,一2)处的法向量为n
1
=(2,2,一4);平面x+y+z=0在点Q(1,1,一2)处的法向量为n
2
=(1,1,1);其交线在点Q(1,1,一2)处的切向量为n=n
1
×n
2
=(2,2,一4)×(1,1,1)=6(1,一1,0),于是直线l的方程为[*],其一般式方程为[*]设过直线l的平面束方程为(x+y一2)+λ(z+2)=0,法向量n
2
=(1,1,λ),而切平面的法向量n
π
=(0,0,1),令
λ
垂直n
π
,得λ=0.即直线l在平面π上的投影l’的方程为[*]到直线l’的距离为[*]
解析
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考研数学一
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