2. 考研
  3. 设a1＜a2＜…＜an，且函数f(x)在[a1，an]上n阶可导，c∈[a1，an]且f(a1)=f(a2)=…=f(an)=0．证明：存在ξ∈(a1，an)，使得f(c)=(c-a1)(c-a2)…(c-an)/n!f(n)(ξ)．

设a1＜a2＜…＜an，且函数f(x)在[a1，an]上n阶可导，c∈[a1，an]且f(a1)=f(a2)=…=f(an)=0．证明：存在ξ∈(a1，an)，使得f(c)=(c-a1)(c-a2)…(c-an)/n!f(n)(ξ)．

admin2022-10-09  33
问题 设a1＜a2＜…＜an，且函数f(x)在[a1，an]上n阶可导，c∈[a1，an]且f(a1)=f(a2)=…=f(an)=0．证明：存在ξ∈(a1，an)，使得f(c)=(c-a1)(c-a2)…(c-an)/n!f(n)(ξ)．
选项
答案当c=ai(i=1，2，…，n)时，对任意的ξ∈(a1，an)，结论成立；设c为异于a1，a2，…，an的数，不妨设a1＜a2＜…＜an．令k=f(c)/(c-a1)(c-a2)…(c-an)，构造辅助函数φ(x)=f(x)-k(x-a1)(x-a2)…(x-an)，显然φ(x)在[a1，an]上n阶可导，且φ(a1)=φ(c)=φ(a2)=…=φ(an)=0，由罗尔定理，存在ξ1(1)∈(a1，c)，ξ2(1)∈(c，a2)，…，ξn(1)∈(an-1，an)，使得φ’(ξ1(1))=φ’(ξ2(1))=…=φ’(ξn(1))=0，φ’(x)在(a1，an)内至少有n个不同零点，重复使用罗尔定理，则φ(n-1)(x)在(a1，an)内至少有两个不同零点，设为c1，c2∈(a1，an)，使得φ(n-1)(c1)=φ(n-1)(c2)=0，再由罗尔定理，存在ξ∈(c1，c2)∈(a1，an)，使得φ(n)(ξ)=0．而φ(n)(x)=f(n)(x)-n!k，所以f(n)(x)=n!k，从而有f(x)=(c-a1)(c-a2)…(c-an)/n!f(n)(ξ)．
解析
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考研数学三

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