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设A,B是n阶实对称可逆矩阵,则存在n阶可逆阵P,使得下列关系式 ①PA=B. ②P-1ABP=BA ③P-1AP=B. ④PTA2P=B2. 成立的个数是 ( )
设A,B是n阶实对称可逆矩阵,则存在n阶可逆阵P,使得下列关系式 ①PA=B. ②P-1ABP=BA ③P-1AP=B. ④PTA2P=B2. 成立的个数是 ( )
admin
2014-04-23
42
问题
设A,B是n阶实对称可逆矩阵,则存在n阶可逆阵P,使得下列关系式
①PA=B.
②P
-1
ABP=BA
③P
-1
AP=B.
④P
T
A
2
P=B
2
.
成立的个数是 ( )
选项
A、1
B、2
C、3
D、4
答案
C
解析
逐个分析关系式是否成立.①式成立.因为A,B均是n阶可逆矩阵,故存在可逆阵Q,Q,使QA=E,WB=E(可逆阵可通过初等行变换化为单位阵),故有QA=WB,W
-1
QA=B.记W
-1
Q=P,则有PA=B成立.故①式成立.②式成立.因为A,B均是n阶可逆矩阵,可取P=A,则有A
-1
(AB)A=(A
-1
A)BA=BA.故②式成立.③式不成立.
因为A.B均是n阶实对称矩阵,它们均可以相似于对角阵,但不一定相似于同一个对角阵,即A,B之间不一定相似.例如
(均满足题设的实对称可逆阵的要求),但对任意可逆阵P,均有P
-1
AP=P
-1
EP=E≠B.故③式不成立.④式成立.
因为A,B均是实对称可逆矩阵,其特征值均不为零,A
2
,B
2
的特征值均大于零.故A
2
,B
2
的正惯性指数为n(秩为n负惯性指数为0),故A
2
B存在可逆阵P,使得p
T
A
2
P=B
2
,故①式成立.
由上分析,故应选C.
【注】由本题可知,两个同阶可逆阵A,B必是等价的(由式①知),且其积AB,BA必是相似的(由式②知).但A,B不一定相似(由式③知),但两个实对称可逆阵A,B,其平方A
2
与B
2
一定是合同的(由式④知).
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考研数学一
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