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  3. 函数 (Ⅰ)将f(x)展开成(x－1)的幂级数，并求此幂级数的收敛域； (Ⅱ)在此收敛域上，该幂级数是否都收敛于f(x)?如果在某处收敛而不收敛于f(x)在该处的值，那么收敛于什么?均要求说明理由．

函数 (Ⅰ)将f(x)展开成(x－1)的幂级数，并求此幂级数的收敛域； (Ⅱ)在此收敛域上，该幂级数是否都收敛于f(x)?如果在某处收敛而不收敛于f(x)在该处的值，那么收敛于什么?均要求说明理由．

admin2019-01-24  17
问题 函数
(Ⅰ)将f(x)展开成(x－1)的幂级数，并求此幂级数的收敛域；
(Ⅱ)在此收敛域上，该幂级数是否都收敛于f(x)?如果在某处收敛而不收敛于f(x)在该处的值，那么收敛于什么?均要求说明理由．
选项
答案(Ⅰ)将函数[*]展开成(x－1)的幂级数，为使式子简单起见，令u＝x－1，即x＝u＋1．则 [*] 展开成u的幂级数．[*]， [*] 显然，在u一±1处上式右边的幂级数收敛，所以该幂级数的收敛域为－1≤u≤1，即(x－1)的幂级数[*]的收敛域为0≤x≤2． (Ⅱ)在x＝0处[*]无定义，所以谈不上它与该幂级数相等，那么该幂级数在x＝0处收敛于什么呢?由于该幂级数在x＝0处是收敛的，由同济大学《高等数学(下册)》(第七版)P279性质1，和函数[*]在x＝0处是连续的，所以， [*] 即[*]在x＝0处收敛于[*]． 至于该幂级数的和函数在x＝2处，由于f(x)在x＝2处连续，所以 [*] 即[*]，在x＝2处收敛于f(x)在x＝2处的值，所以 [*]
解析
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考研数学一

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