假设随机变量X的密度函数f(x)=ce-λ|x|(λ>0,一∞<x<+∞),Y=|X|. (I)求常数c及EX,DX;(Ⅱ)问X与Y是否相关?为什么?(Ⅲ)问X与Y是否独立?为什么?

admin2019-05-14  36

问题 假设随机变量X的密度函数f(x)=ce-λ|x|(λ>0,一∞<x<+∞),Y=|X|.
(I)求常数c及EX,DX;(Ⅱ)问X与Y是否相关?为什么?(Ⅲ)问X与Y是否独立?为什么?

选项

答案(I)由于∫-∞+∞f(x)dx=1,所以c∫-∞+∞e-λ|x|dx=2c∫0+∞e-λxdx=[*] 又f(x)是偶函数,且反常积分∫-∞+∞xf-∞+∞xf(x)dx=0, [*] (Ⅱ)由于f(x)是偶函数,故EXY=EX|X|=∫-∞+∞x|x|f(x)dx=0,而EX=0,所以EXY=EX.EY,故X与Y不相关. (Ⅲ)下面我们应用事件关系证明X与Y=|X|不独立.因为 {|X|≤1}[*]{X≤1},又P{|X|≤1}=∫-11f(x)dx≠0, P{X≤1}=∫-∞1f(x)dx≠1,所以{|X|≤1}与{X≤1}不独立(包含关系不独立),故X与Y=|X|不独立.

解析
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