设A是n阶矩阵,A2=A, r(A)=r,证明A能对角化,并求A的相似标准形.

admin2016-10-20  46

问题 设A是n阶矩阵,A2=A,  r(A)=r,证明A能对角化,并求A的相似标准形.

选项

答案对A按列分块,记A=(α1,α2,…,αn).由r(A)=r,知A中有r个列向量线性无关,不妨设为α1,α2,…,αn,因为A2=A,即 A(α1,α2,…,αn)=(α1,α2,…,αn),所以 Aα11=1.α`, …, Aαr2r=1.αr. 那么λ=1是A的特征值,α1,α2,…,αr是其线性无关的特征向量. 对于齐次线性方程组Ax=0,其基础解系由n-r(A)=n-r个向量组成.因此,0是A的特征值,基础解系是λ=0的特征向量.从而A有n个线性无关的特征向量,A可以对角化(λ=1是r重根,λ=0是,n-r重根),且有 [*]

解析
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