设y=y(x)是区间(一π,π)内过的光滑曲线,当一π<x<0时,曲线上任一点处的法线都过原点,当0≤x<π时,函数y(x)满足y’’+y+x=0。求函数y(x)的表达式。

admin2020-03-16  44

问题 设y=y(x)是区间(一π,π)内过的光滑曲线,当一π<x<0时,曲线上任一点处的法线都过原点,当0≤x<π时,函数y(x)满足y’’+y+x=0。求函数y(x)的表达式。

选项

答案由题意,当一π<x<0时,法线均过原点,所以有[*],得y2=一x2+C。又[*],代入y2=一x2+C得C=π2,从而有x2+y22。 当0≤x<π时,y’’+y+x=0,得其对应齐次微分方程y’’+y=0的通解为 y*=C1cosx+C2sinx。 设其特解为y1=Ax+B,则有0+Ax+B+x=0,得A=一1,B=0,故y1=一x是方程的特 解,因此y’’+y+x=0的通解为y=C1cosx+C2sinx一x。 因为y=y(x)是(一π,π)内的光滑曲线,故y在x=0处连续且可导,所以由已知得 y|x=0=π,y’|x=0=0, 故得C1=π,C2=1,所以 [*]

解析
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