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设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0。记n阶矩阵A=αβT。求： (Ⅰ)A2； (Ⅱ)矩阵A的特征值和特征向量。
设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0。记n阶矩阵A=αβT。求： (Ⅰ)A2； (Ⅱ)矩阵A的特征值和特征向量。
admin
2019-05-11
58
问题
设向量α=(a
1
，a
2
，…，a
n
)
T
，β=(b
1
，b
2
，…，b
n
)
T
都是非零向量，且满足条件α
T
β=0。记n阶矩阵A=αβ
T
。求：
(Ⅰ)A
2
；
(Ⅱ)矩阵A的特征值和特征向量。
选项
答案
(Ⅰ)对等式α
T
β=0两边取转置，有(α
T
β)
T
=β
T
α=0，即β
T
α=0。 利用β
T
α=0及矩阵乘法的运算法则，有 A
2
=(αβ
T
)
2
=αβ
T
αβ
T
=α(β
T
α)β
T
=α0β
T
=0αβ
T
=0， 即A
2
是n阶零矩阵。 (Ⅱ)设λ是A的任一特征值，ξ(ξ≠0)是A属于特征值λ的特征向量，即Aξ=λξ。 对上式两边左乘A得A
2
ξ=Aλξ=λ(Aξ)=λ(λξ)=λ
2
ξ，由(Ⅰ)的结果A
2
=O，得λ
2
ξ=A
2
ξ=0，因ξ≠0，故λ=0(n重根)，即矩阵的全部特征值为零。 下面求A的特征向量：先将A写成矩阵形式 A=αβ
T
=[*]。 不妨设a
1
≠0，b
1
≠0，则有 [*] 于是得方程组(0E—A)x=0的同解方程组b
1
x
1
+b
2
x
2
+b
3
x
3
=0，这样基础解系所含向量个数为n一r(0E—A)=n一1。 选x
2
，…，x
n
为自由未知量，将它们的组值(b
1
，0，…，0)，(0，b
1
，…，0)，…，(0，0，…，b
1
)代入，可解得基础解系为 ξ
1
=(一b
2
，b
1
，0，…，0)，ξ
2
=(一b
3
，0，b
1
，…，0)，…，ξ
n-1
=(一b
n
，0，0，…，b
1
)， 则A的属于λ=0的全部特征向量为k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
n-1
ξ
n-1
，其中k
1
，k
2
，…，k
n-1
为不全为零的任意常数。
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/5XnRFFFM
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考研数学三
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