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已知二次型f（x1，x2，x3）=（1一a）x12+（1—a）x22+2x32+2（1+a）x1x2的秩为2。 （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）求正交变换x=Qy，把f（x1，x2，x3）化为标准形； （Ⅲ）求方程f（x1，x2，x3）=0的解。
已知二次型f（x1，x2，x3）=（1一a）x12+（1—a）x22+2x32+2（1+a）x1x2的秩为2。 （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）求正交变换x=Qy，把f（x1，x2，x3）化为标准形； （Ⅲ）求方程f（x1，x2，x3）=0的解。
admin
2017-12-29
25
问题
已知二次型f（x
1
，x
2
，x
3
）=（1一a）x
1
2
+（1—a）x
2
2
+2x
3
2
+2（1+a）x
1
x
2
的秩为2。
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求正交变换x=Qy，把f（x
1
，x
2
，x
3
）化为标准形；
（Ⅲ）求方程f（x
1
，x
2
，x
3
）=0的解。
选项
答案
（Ⅰ）二次型矩阵 [*] 二次型的秩为2，则二次型矩阵A的秩也为2，从而 [*] 因此a=0。 （Ⅱ）由（Ⅰ）中结论a=0，则 [*] 由特征多项式 [*] =（λ一2）[（λ一1）
2
—1]=λ（λ一2）
2
得矩阵A的特征值λ
1
=λ
2
=2，λ
3
=0。 当λ=2，由（2E—A）x=0得特征向量α
1
=（1，1，0）
T
，α
2
=（0，0，1）
T
。 当λ=0，由（0E—A）x=0得特征向量α
3
=（1，一1，0）
T
。 容易看出α
1
，α
2
，α
3
已两两正交，故只需将它们单位化： γ
1
=[*]（1，1，0）
T
，γ
2
=（0，0，1）
T
，γ
3
=[*]（1，一1，0）
T
。 那么令Q=（γ
1
，γ
2
，γ
3
）=[*] 则在正交变换x=Qy下，二次型f（x
1
，x
2
，x
3
）化为 标准形f（x
1
，x
2
，x
3
）=x
T
Ax=y
T
Λy=2y
1
2
+2y
2
2
。 （Ⅲ）由f（x
1
，x
2
，x
3
）=x
1
2
+x
2
2
+2x
3
2
+2x
1
x
2
=（x
1
+x
2
）
2
+2x
3
2
=0，得[*] 所以方程f（x
1
，x
2
，x
3
）=0的通解为k（1，一1，0）
T
，其中k为任意常数。
解析
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考研数学三
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