设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是( )

admin2021-01-25 57

问题设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是( )

选项 A、A^T与B^T相似．
B、A^－1与B^－1相似．
C、A+A^T与B+B^T相似．
D、A+A^－1与B+B^－1相似．

答案C

解析 1 由已知条件知，存在可逆矩阵P，使得P^－1AP=B……(1)．
由(1)两端取转置，得P^TA^T(P^T)^－1=B^T，可见A^T与B^T相似，因此选项A正确；
由(1)两端取逆矩阵，得P^－1A^－1P=B^－1……(2)，可见A^－1与B^－1相似，因此选项B正确；
将(1)与(2)相加，得P^－1(A+A^－1)P=B+B^－1，可见A+A^－1与B+B^－1相似，因此选项D正确．故只有选项C错误．
2 可以举例来说明选项C错误：令矩阵

计算可得矩阵A+A^T=

的特征值是1和3；
而矩阵B+B^T=

的特征值是7和－3，
由于相似矩阵有相同的特征值，所以A+A^T与B+B^T不相似，故选C．

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考研数学三

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