就a的不同取值情况,确定方程lnx=xa(a>0)实根的个数.

admin2019-03-21  39

问题 就a的不同取值情况,确定方程lnx=xa(a>0)实根的个数.

选项

答案令f(x)=lnx-xa,即讨论f(x)在(0,+∞)有几个零点.用单调性分析方法.求f(x)的单调区间. [*] 则当0<x≤x0时,f(x)单调上升;当x≥x0时,f(x)单调下降;当x=x0时,f(x)取最大值f(x0)=[*].从而f(x)在(0,+∞)有几个零点,取决于y=f(x)属于图4.14中的哪种情形. [*] (Ⅰ)当f(x0)=[*]时,恒有f(x)<0 ([*]x∈(0,+∞)),故f(x)=0没有根. (Ⅱ)当f(x0)=[*]时,由于x∈(0,+∞),当x≠x0=ee时,f(x)<0,故f(x)=0只有一个根,即x=x0=ee. (Ⅲ)当f(x0)=[*]时,因为 [*] 故方程f(x)=0在(0,x0),(x0,+∞)各只有一个跟.因此f(x)=0在(0,+∞)恰有两个根.

解析
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