2. 考研
  3. 设F(x)=∫0x(2t一x)f(t)dt，其中函数f(x)可导，且f’(x)＞0在区间(—1，1)成立，则

设F(x)=∫0x(2t一x)f(t)dt，其中函数f(x)可导，且f’(x)＞0在区间(—1，1)成立，则

admin2020-06-11  20
问题 设F(x)=∫0x(2t一x)f(t)dt，其中函数f(x)可导，且f’(x)＞0在区间(—1，1)成立，则
选项 A、函数F(x)必在点x=0处取得极大值．
B、函数F(x)必在点x=0处取得极小值．
C、函数F(x)在点x=0处不取极值，但点(0，F(0))是曲线y=F(x)的拐点．
D、函数F(x)在点x=0处不取极值，且点(0，F(0))也不是曲线y=F(x)的拐点．
答案C
解析 本题主要考查变上限定积分求导法、函数的极值以及曲线的拐点等有关知识．因
    F(x)=2∫0xtf(t)dt一x∫∫0xf(t)dt，
    于是    F’(x)=2xf(x)一xf(x)一∫0xf(t)dt=xf(x)一∫0ff(t)dt，
            F”(x)=xf’(x)+f(x)一f(x)=xf’(x)
    由F"(x)符号的变化情况知，曲线y=F(x)在区间(一1，0]是凸的，在区间[0，1)是凹的，可见(0，F(0))是其拐点．
    由F"(x)符号的变化情况还知道，F’(0)是F’(x)的最小值，又F’(0)=0，从而知F’(x)＞0当x≠时成立，这表明F(x)在x=0处不取极值．
    综合以上分析知，结论(C)正确，其余均不正确．故应选C．
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考研数学二

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