设连续函数f(x)满足方程f(x)—，则f(x)=________.

admin2021-01-12 21

问题设连续函数f(x)满足方程f(x)—

，则f(x)=________.

选项

答案[*]

解析

两边对x求导得 f’(x)=

f(u)du=一2e^-2x．
再求导得 f"(x)一4f(x)=4e^-2x，
特征方程为λ²一4=0，特征值为λ₁=一2，λ₂=2，
f"(x)一4f(x)=0的通解为f(x)=C₁e^-2x+C₂e^2x，
令f"(x)一4f(x)=4e^-2x的特解为f₀(x)=axe^-2x，代入得a=一1，
则原方程的通解为f(x)=C₁e^-2x+C₂e^2x一xe^-2x，
由f(0)=1，f’(0)=一2得C₁=

,C₂=

故f(x)=

e^-2x+

e^2x一xe^-2x.

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