对于数列{xn},从中选取若干项,不改变它们在原来数列中的先后次序,得到的数列称为原来数列的一个子数列.某同学在学习了这一个概念之后,打算研究首项为a1,公差为d的无穷等差数列的子数列{an}问题,为此,他取了其中第一项a1,第三项a3和第五项a5. 在

admin2018-12-31  30

问题 对于数列{xn},从中选取若干项,不改变它们在原来数列中的先后次序,得到的数列称为原来数列的一个子数列.某同学在学习了这一个概念之后,打算研究首项为a1,公差为d的无穷等差数列的子数列{an}问题,为此,他取了其中第一项a1,第三项a3和第五项a5
在a1=1,d=3的无穷等差数列{an}中,是否存在无穷子数列{bn},使得数列{bn}为首项为a1公比为4的等比数列?若存在,请给出数列{bn}的通项公式并证明;若不存在,说明理由.

选项

答案由题意可得,此时原无穷等差数列的通项公式为an=3n—2, 设存在数列{bn}满足条件,则其通项公式为bn=a1qn—1=4n—1, 又因为数列{bn}是数列{an}的子数列,故数列{bn}中的每一项都应符合数列{an}的通项公式, 故4k—1=3n—2,即n=[*](k∈N+). 又因为n∈N+,故原题目转化为证明对于[*]∈N+,4k—1+2均能被3整除, 当k=1时,4k—1+2=1+2=3,能被3整除, 当k≥2,且k∈N+时, 4k—1+2=(3+1)k—1+2 =Ck—10.3k—1+Ck—11.3k—2+ … +Ck—1k—2.3+Ck—1k—1+2 =3P+1+2 =3P+3(P∈N+) 所以4k—1+2能被3整除, 故对于[*]∈N+,4k—1+2均能被3整除. 所以无穷数列{bn}是无穷数列{an}的子数列. 所以在a1=1,d=3的无穷等差数列{an}中,存在无穷子数列{bn},使得数列{bn}为首项为a1,公比为4的等比数列.

解析
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