证明：1+xln(x+(一∞＜x＜+∞)．

admin2017-03-30 10

问题证明：1+xln(x+

(一∞＜x＜+∞)．

选项

答案令f(x)=1+x.ln(x+[*] 于是 [*] 令f′(x)=0，得驻点：x=0；又 [*]＞0，x∈(－∞，+∞)；从而可知，f′(x)在(一∞，+∞)上为单调递增函数．因f′(0)=0，故x＜0时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；x＞0时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；进而知f(x)在x=0处取得最小值，且最小值为f(0)=0，那么对任意的x∈(－∞，+∞)，有f(x)≥0，即1+x.ln(x+[*]

解析证明不等式的方法很多，利用函数的单调性证明是常用的方法之一．关键是构造函数f(x)，证明当x＞x₀时，f′(x)＞0(或＜0)，从而推出函数f(x)单调增加(或减少)，因而x＞x₀时，f(x)＞f(x₀)(或f(x)＜f(x₀))．

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