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设线性方程组（1）Ax=0的一个基础解系为α1=（1，1，1，0，2）T，α2=（1，1，0，1，1）T，α3=（1，0，1，1，2）T。线性方程组（2）Bx=0的一个基础解系为β1=（1，1，一1，一1，1）T，β2= （1，一1，1，一1，2）T，β3
设线性方程组（1）Ax=0的一个基础解系为α1=（1，1，1，0，2）T，α2=（1，1，0，1，1）T，α3=（1，0，1，1，2）T。线性方程组（2）Bx=0的一个基础解系为β1=（1，1，一1，一1，1）T，β2= （1，一1，1，一1，2）T，β3
admin
2017-12-29
39
问题
设线性方程组（1）Ax=0的一个基础解系为α
1
=（1，1，1，0，2）
T
，α
2
=（1，1，0，1，1）
T
，α
3
=（1，0，1，1，2）
T
。线性方程组（2）Bx=0的一个基础解系为β
1
=（1，1，一1，一1，1）
T
，β
2
= （1，一1，1，一1，2）
T
，β
3
=（1，一1，一1，1，1）
T
。求
（Ⅰ）线性方程组
的通解；
（Ⅱ）矩阵C=（A
T
，B
T
）的秩。
选项
答案
（Ⅰ）线性方程组（1）Ax=0的通解为x=k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
；线性方程组（2）Bx=0的通解为x=l
1
β
1
+l
2
β
2
+l
3
β
3
；线性方程组（3）[*]的解是方程组（1）和（2）的公共解，故考虑线性方程组（4）k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=l
1
β
1
+l
2
β
2
+l
3
β
3
，将其系数矩阵作初等行变换，即 [*] 则方程组（4）的一个基础解系是（一2，0，2，一1，0，1）
T
。将其代入（4）得到方程组（3）的一个基础解系ξ=一2α
1
+2α
2
=一β
1
+β
3
=（0，一2，0，2，0）
T
。所以方程组（3）的通解为 x=k（0，一1，0，1，0）
T
，其中k为任意常数。 （Ⅱ）线性方程组（3）[*]与线性方程组x
T
（A
T
，B
T
）=0等价，而方程组（3）的基础解系只含一个向量，故矩阵C=（A
T
，B
T
）的秩r（C）=5—1=4。
解析
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考研数学三
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