2. 考研
  3. 已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某个邻域内满足关系式 f(1+sinx)－3f(1－sinx)=8x+α(x)， 其中α(x)是当x→0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x=1处可导，求曲线y=f(x)在点(6，f(6))处的切线方程。

已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某个邻域内满足关系式 f(1+sinx)－3f(1－sinx)=8x+α(x)， 其中α(x)是当x→0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x=1处可导，求曲线y=f(x)在点(6，f(6))处的切线方程。

admin2019-08-01  71
问题 已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某个邻域内满足关系式
f(1+sinx)－3f(1－sinx)=8x+α(x)，
其中α(x)是当x→0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x=1处可导，求曲线y=f(x)在点(6，f(6))处的切线方程。
选项
答案将f(1+sinx)－3f(1－sinx)=8x+α(x)两边令x→0取极限，由f(x)的连续性得 f(1)－3f(1)=[*][8x+α(x)]=0[*]－2f(1)=0， 故f(1)=0，又由题设f(x)在x=1处可导，两边同除sinx， [*] 根据导数的定义，得 f’(1)+3f’(1) [*]4f’(1)=8， 所以f’(1)=2，又因f’(6)=f’(5+1)=f’(1)，所以f’(6)=2，由点斜式，切线方程为 [y－f(6)]=f’(6)(x－6)。 把f(6)=f(1)=0，f’(6)=2代入得y=2(x－6)，即2x－y－12=0。
解析
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考研数学二

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