(1998年试题,十)已知二次曲面方程x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4可以经过正交变换化为椭圆柱面方程η2+4ζ2=4,求a,b的值和正交矩阵P.

admin2013-12-27  54

问题 (1998年试题,十)已知二次曲面方程x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4可以经过正交变换化为椭圆柱面方程η2+4ζ2=4,求a,b的值和正交矩阵P.

选项

答案设二次型为f(x,y,z)=x2+ay2+=z2+2bxy+2xz+2yz则相应矩阵为[*]同时该二次型的标准形为f1(ξ,η,ζ)=η2+4ζ2,其相应矩阵为[*]由于正交变换也是相似变换,不改变矩阵的特征值,因此λ1=0,λ2=1,λ3=4也是矩阵A的特征值,由特征值多项式|A—λE|=0,有[*]将λ1=0,λ2=1,λ3=4代入,可解得a=3且b=1.以下计算相应的特征向量以构造正交变换阵P.当λ1=0,有Ax=0,ξ1=[*]当λ2=1,有(A—E)x=0,ξ2=[*]当λ3=4,有(A一4I)x=0,ξ3=[*]从而正交变换矩阵为[*]

解析 本题在求参数a,b时,亦可利用条件∑aij=∑bij和|A|=|B|来求得.
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