2. 考研
  3. 微分方程y’’+3y’+2y=e-x满足条件y(0)=1，y’(0)=1的特解为_________．

微分方程y’’+3y’+2y=e-x满足条件y(0)=1，y’(0)=1的特解为_________．

admin2017-12-11  53
问题 微分方程y’’+3y’+2y=e-x满足条件y(0)=1，y’(0)=1的特解为_________．
选项
答案y=2e-x-e-2x+xe-x
解析 这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程求特解问题．
首先，求y’’+3y’+2y=0的通解．y’’+3y’+2y=0的特征方程为r2+3r+2=0，特征根为r1==1，r2=-2，所以其通解为y=C1e-x+C2e-2x．
    其次，求y’’+3y’+2y=e-x的一个特解．因为-1是特征单根，故设y*=Axe-x是其一个特解，则
    y*’=Ae-x-Axe-x， y*’’=2Ae-x+Axe-x，
将其代入到y’’+3y’+2y=e-x并化简，得A=1，所以y*=xe-x．
    第三，写出y’’+3y’+2y=e-x的通解，为
y=Y+y*=-C1ex+C2e-2x+xe-x．
    第四，求满足初始条件y(0)=1，y’(0)=1的特解．
y’=-C1e-x-2C2e-2x+e-x-xe-x，
由y(0)=1，y’(0)=1，得

解得C1=2，C2=-1，故所求特解为y=2e-x-e-2x+xe-x．
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