设n元线性方程组Ax=b，其中 (1)证明行列式|A|=(n+1)an． (2)当a为何值时，该方程组有唯一解?求x1． (3)当a为何值时，该方程组有无穷多解?求通解．

admin2020-09-25 93

问题设n元线性方程组Ax=b，其中

  (1)证明行列式|A|=(n+1)aⁿ．
  (2)当a为何值时，该方程组有唯一解?求x₁．
  (3)当a为何值时，该方程组有无穷多解?求通解．

选项

答案(1)记D_n=|A|．用数学归纳法证明D_n=(n+1)aⁿ． ①当n=1时，D₁=2a，结论成立． ②当n=2时，D₂=[*]=3a²，结论成立．假设结论对小于n的情况成立，将D_n按第一行展开，得 [*] 根据假设D_n-1=na^n-1,D_n-2=(n一1)a^n-2，可得 D_n=2a.na^n-1一a²(n一1)a^n-2=(n+1)aⁿ．所以结论对任意n成立． (2)当a≠0时，系数行列式D_n=|A|≠0，方程组有唯一解，由克拉默法则，将D_n第一列换成常数列b，得 [*] (3)当a=0时，方程组为[*] 由于[*]=R(A)=n一1＜n，所以方程组有无穷多解，其通解为(0，1，0，…，0)^T+k(1，0，0，…，0)^T，其中k为任意常数．

解析

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考研数学三

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设n元线性方程组Ax=b，其中 (1)证明行列式|A|=(n+1)an． (2)当a为何值时，该方程组有唯一解?求x1． (3)当a为何值时，该方程组有无穷多解?求通解．

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