设φ(x)是以2π为周期的连续函数,且ψ’(x)=φ(x),ψ(0)=0. (1)求方程y’+ysin x=φ(x)ecosx的通解; (2)方程是否有以2π为周期的解?若有,请写出所需条件;若没有,请说明理由.

admin2019-01-05  65

问题 设φ(x)是以2π为周期的连续函数,且ψ’(x)=φ(x),ψ(0)=0.
(1)求方程y’+ysin x=φ(x)ecosx的通解;
(2)方程是否有以2π为周期的解?若有,请写出所需条件;若没有,请说明理由.

选项

答案(1)该方程为一阶非齐次线性微分方程,通解为 y=e-∫sinxdx[∫φ(x)ecosxe∫sinxdxdx+C] =ecosx[∫φ(x)ecosx.e-cosxdx+C] =ecosx[∫φ(x)dx+C]=ecosx[ψ[x)+C], 其中C为任意常数. (2)因为ψ’(x)=φ(x),所以ψ(x)=∫0xφ(t)dt+C1.又ψ(0)=0,于是,ψ(x)=∫0xφ(t)dt. ψ(x+2π)=∫0x+2πφ(t)dt=∫0xφ(t)dt+∫xx+2πφ(t)dt=ψ(x)+∫0φ(t)dt, 所以当∫0φ(t)t=0时,ψ(x+2π)=ψ(x),即ψ(x)以2π为周期. 因此,当∫0φ(t)dt=0时,方程有以2π为周期的解.

解析
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