设A是各行元素和均为零的三阶矩阵,α,β是线性无关的三维列向量,并满足Aα=3β,Aβ=3α。 (Ⅰ)证明矩阵A能相似于对角矩阵; (Ⅱ)若α=(0,-1,1)T,β=(1,0,-1)T,求矩阵A。

admin2020-03-08  14

问题 设A是各行元素和均为零的三阶矩阵,α,β是线性无关的三维列向量,并满足Aα=3β,Aβ=3α。
(Ⅰ)证明矩阵A能相似于对角矩阵;
(Ⅱ)若α=(0,-1,1)T,β=(1,0,-1)T,求矩阵A。

选项

答案(Ⅰ)因为A的各行元素和为零,从而λ=0为A的一个特征值,并且y=(1,1,1)T为A属于λ=0的特征向量。另一方面,又因为Aα=3β,Aβ=3α,所以A(α+β)=3(α+β),A(α-β)=-3(α-β),λ=3和λ=-3为A的两个特征值,并且α+β和α-β为A属于λ=3,λ=-3的特征向量,可见A有三个不同的特征值,所以A能相似于对角矩阵。 (Ⅱ)A的三个特征向量为γ=(1,1,1)T,α+β=(1,-l,0)T,α-β=(-l,-l,2)T,令 P=(γ,α+β,α-β),[*] 则P-1AP=A,所以 [*]

解析 n阶矩阵可相似对角化的充要条件是矩阵有n个线性无关的特征向量或有n个不同的特征值,或对应同一特征值的线性无关的特征向量等于特征值的重数。
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