2. 专升本
  3. 已知函数f(x)在闭区间[0，c]上可导，f(0)=0，且f′(x)单调递减，证明：当0≤a≤b≤a+b≤c时，有f(a+b)≤f(a)+f(b)．

已知函数f(x)在闭区间[0，c]上可导，f(0)=0，且f′(x)单调递减，证明：当0≤a≤b≤a+b≤c时，有f(a+b)≤f(a)+f(b)．

admin2016-03-02  23
问题 已知函数f(x)在闭区间[0，c]上可导，f(0)=0，且f′(x)单调递减，证明：当0≤a≤b≤a+b≤c时，有f(a+b)≤f(a)+f(b)．
选项
答案(Ⅰ)当0＜a≤b≤a+b≤C时，因为f(x)在闭区间[0，c]上可导 ∴f(x)在[0，a]和[b，b+a]上都满足拉格朗日中值定理的条件 ∴在(0，a)内至少存在一点ξ1，在(b，b＋a)内至少存在一点ξ2，使得 f(a)－f(0)=f′(ξ1)a，f(a+b)一f(b)=f′(ξ2)a ∴f(a+b)一f(a)一f(b)=[f′(ξ2)一f′(ξ1)]a 又∵f′(x)单调递减，且0＜ξ1＜a≤b＜ξ2＜a+b≤c ∴f′(ξ2)一f′(ξ1)＜0，即f(a+b)＜f(a)+f(b) (Ⅱ)当a=0时，f(a+b)=f(a)+f(b)，即“=”成立 综上可知，当0≤a≤b≤a+b≤c时，有f(a+b)≤f(a)+f(b)
解析
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