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  3. 求幂级数的收敛域与和函数．

求幂级数的收敛域与和函数．

admin2020-08-03  44
问题 求幂级数的收敛域与和函数．
选项
答案由ρ=[*]=1，得收敛半径R=1，收敛区间为(-1，1)． 当x=±1时，｜un(n)｜≤[*]收敛，故原级数绝对收敛，因而收敛域为[-l，1]． 设s(x)=[*]，x∈[-1，1]．显然x=0时，s(0)=0 当x∈(-1，1]且x≠0时 s(x)=[*] 而[*]=ln(1+x) 故s(x)=[*][(x+1)ln(1+x)-x]． 因s(x)在x=1处连续，故s(1)=ln2-[*]；x=-1时，原级数为 [*] 因此 s(x)=[*]
解析 本题考查求幂级数的收敛域与和函数问题．这是一个标准形式的幂级数，可先求出收敛半径，定出收敛区间，再讨论端点处的收敛性可得收敛域，然后用间接法即逐项求导、积分等分析运算性质求解．
注：上述求解过程中用到了ln(1+x)=，x∈(-1，1]．若不清楚此式，则还要求导一次．所以请读者要熟记一些常用函数的幂级数展开式，如ex，sinx，cosx，(1+x)m，ln(1+x)，ln(1-x)，arctan x，等等．
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考研数学一

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