设曲线积分上∫Ly2f′(χ)dχ+2y[f′(χ)-χ]dy与路径无关,其中f(χ)具有二阶连续的导数,且f(0)=1,f′(0)=0。求f(χ),并计算曲线积分∫(0,0)(1,1)y2f′(χ)dχ+2y[f′(χ)-χ]dy。

admin2017-11-30  27

问题 设曲线积分上∫Ly2f′(χ)dχ+2y[f′(χ)-χ]dy与路径无关,其中f(χ)具有二阶连续的导数,且f(0)=1,f′(0)=0。求f(χ),并计算曲线积分∫(0,0)(1,1)y2f′(χ)dχ+2y[f′(χ)-χ]dy。

选项

答案令P(χ,y)=y2f′(χ),Q(χ,y)=2y[f′(χ)-χ], 已知该积分与路径无关,则有[*],即 2y[f〞(χ)-1]=2yf′(χ), 化简为f〞(χ)-f′(χ)=1,该方程为可分离变量方程,即[*]=dx两边同时积 分可得, f′(χ)=Ceχ-1, 代入初始条件f′(0)=0可得C=1,故f′(χ)=eχ-1,两边同时积分可得 f(χ)=eχ-χ+C1, 将初始条件f(0)=1代入,可得C1=0,故f(χ)=eχ-χ。 ∫(0,0)(1,1)yf′(χ)dχ+2y[f(χ)-χ]dy与路径无关,则可选取折线路径简化计算, 其中L1:y=0,χ:0→1,L2:χ=1,y:0→1, ∫(0,0)(1,1)y2f′(χ)dχ+2y[f′(χ)-χ]dy=∫(0,0)(1,1)y2(eχ-1)dχ+2y(eχ-1-χ)dy =[*]y2(eχ-1)dχ+2y(eχ-1-χ)dy+[*]y2(eχ-1)dχ+2y(eχ-1-χ)dy =∫012(e-2)ydy=e-2。

解析
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