已知3阶矩阵A的第一行是(a b c),a,b,c不全为零,矩阵B=(k为常数),且AB=0,求线性方程组Ax=0的通解.

admin2014-01-26  83

问题 已知3阶矩阵A的第一行是(a  b  c),a,b,c不全为零,矩阵B=(k为常数),且AB=0,求线性方程组Ax=0的通解.

选项

答案由AB=0知,B的每一列均为Ax=0的解,且r(A)+r(B)≤3. (1)若k≠9,则r(B)=2,于是r(A)≤1,显然r(A)≥1,故r(A)=1.可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3=r(A)=2,矩阵B的第一、第三列线性无关,可作为其基础解系,故Ax=0的通解为:[*],k1,k2为任意常数. (2)若k=9,则r(B)=1,从而1≤r(A)≤2. ①若r(A)=2,则Ax=0的通解为[*],k1为任意常数. ②若r(A)=1,则Ax=0的同解方程组为ax1+bx2+cx3=0,不妨设a≠0,则其通解为[*],k1,k2为任意常数.

解析 [分析]  AB=0,相当于已知B的每一列均为Ax=0的解,关键问题是Ax=0的基础解系所含解向量的个数为多少,这又转化为确定系数矩阵A的秩.
    [评注]  AB=0这类已知条件是反复出现的,应该明确其引申含义:
1.B的每一列均为Ax=0的解;
2.r(A)+r(B)≤n.
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