2. 公务员
  3. [发现证明] 如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，试判断BE，EF，FD之间的数量关系。 峰峰把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，通过证明△AEF≌△AGF，从而发现并证明了EF=BE+FD。 [类比

[发现证明] 如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，试判断BE，EF，FD之间的数量关系。 峰峰把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，通过证明△AEF≌△AGF，从而发现并证明了EF=BE+FD。 [类比

admin2019-04-05  56
问题 [发现证明]
  如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，试判断BE，EF，FD之间的数量关系。
  峰峰把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，通过证明△AEF≌△AGF，从而发现并证明了EF=BE+FD。
  [类比引申]
  (1)如图2，点E，F分别在正方形ABCD的边CB，CD的延长线上，∠EAF=45°，连结EF，请根据峰峰的发现给你的启示写出EF，BE，DF之间的数量关系，并证明；
  [联想拓展]
  (2)如图3，∠BAC=90°，AB=AC，点E，F在边BC上，且∠EAF=45°，若BE=3，EF=5，求CF的长。
选项
答案(1)DF=EF+BE。 [*] 证明：∵AB=AD， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，∠EAG=∠BAD=90°， ∵∠ADC=∠ABE=90°，∴点C，D，G在一条直线上， ∴EB=DG，AE=AG，∠EAB=∠GAD， ∵∠BAG+∠GAD=90°． ∵∠EAF=45°，∴∠FAG=∠EAG一∠EAF=90°一45°=45°， ∴∠EAF=∠GAF， 在△EAF和△GAF中[*]， ∴△EAF≌△GAF，∴EF=FG， ∵FD=FG+DG，∴DF=EF+BE。 (2)∵∠BAC=90°，AB=AC． ∴将△ABE绕点A逆时针旋转90°得△ACG，连结FG，如图， [*] 则AG=AE，CG=BE，∠ACG=∠B，∠EAG=90°， ∴∠FCG=∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°， ∴FG2=FC2+CG2=BE2+FC2， 又∵∠EAF=45°，而∠EAG=90°， ∴∠GAF=90°一45°=45°， ∠△AGF与△AEF中[*] ∴△AGF≌△AEF，∴EF=FG。 ∴CF2=EF2一BE2=52一32=42， ∴CF=4。
解析
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