设f(x)在(0，+∞)内一阶连续可微，且对x∈(0，+∞)满足x∫01f(xt)dt=2∫0xf(t)dt+xf(x)+x3，又f(1)=0，求f(x)．

admin2020-05-09 42

问题设f(x)在(0，+∞)内一阶连续可微，且对

x∈(0，+∞)满足x∫₀¹f(xt)dt=2∫₀^xf(t)dt+xf(x)+x³，又f(1)=0，求f(x)．

选项

答案令u=xt，则原方程变换为∫₀^xf(u)du=2∫₀^xf(t)dt+xf(x)+x³两边对x求导得f(x)=2f(x)+f(x)+xfˊ(x)+3x²，整理得fˊ(x)+[*]f(x)=－3x．此微分方程的通解为f(x)=[*]．由f(1)=0，得C=[*],所以f(x)=[*].

解析

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