2. 考研
  3. 已知二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋χ22＋χ32－4χ1χ2－4χ1χ3＋2aχ2χ3通过正交变换χ＝Qy化为标准形f(χ1，χ2，χ3)＝3y12＋3y22＋by32，求参数a，b及所用的正交变换．

已知二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋χ22＋χ32－4χ1χ2－4χ1χ3＋2aχ2χ3通过正交变换χ＝Qy化为标准形f(χ1，χ2，χ3)＝3y12＋3y22＋by32，求参数a，b及所用的正交变换．

admin2016-03-16  40
问题 已知二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋χ22＋χ32－4χ1χ2－4χ1χ3＋2aχ2χ3通过正交变换χ＝Qy化为标准形f(χ1，χ2，χ3)＝3y12＋3y22＋by32，求参数a，b及所用的正交变换．
选项
答案本题主要考查特征值的性质及二次型通过正交变换化为标准形，是一道有一定难度的综合题． 二次型的矩阵为 [*] 由题设知矩阵A的特征值为λ1＝3，λ2＝3，λ3＝b．由特征值的性质，得 [*] 解得a＝－2，b＝－3，从而矩阵A的特征值是3，3，－3． 当λ＝3时，对(3E－A)χ＝0的系数矩阵作初等行变换， [*] 其基础解系为α1＝(-1，1，0)T，α2＝(－1，0，1)1T． 当λ＝－3时，对(－3E－A)＝0的系数矩阵作初等行变换， [*] 其基础解系为α3＝(1，1，1)T． 将α1，α2Schmidt正交化，令 [*] 令Q＝(y1，y2，y3)，经过正交变换χ＝Qy，f(χ1，χ2，χ3)化成标准形f(χ1，χ2，χ3)＝3y12＋3y22－3y32．
解析
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考研数学二

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