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  3. 将长为L的细棒随机截成3段，求3段构成三角形的概率．

将长为L的细棒随机截成3段，求3段构成三角形的概率．

admin2020-05-02  21
问题 将长为L的细棒随机截成3段，求3段构成三角形的概率．
选项
答案设A表示“3段构成三角形”． 方法一 设x，y分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为L-x-y，且样本空间为 S={(x，y)｜0＜x＜L，0＜y＜L，0＜x+y＜L} 要使三段构成三角形，则 x+y＞L-x-y，x+(L-x-y)＞y y+(L-x-y)＞x 即x+y＞L/2，y＜L/2，x＜L/2．所以事件A为 A={(x，y｜ x+y＞L/2，y＜L/2，x＜L/2} 从而S为等腰三角形，腰长为L，A为图2-1-2中的斜线部分，由几何概率的定义知，所求概率为 P(A)=A的面积/S的面积=1/4 [*] 方法二 设棒的左端点为数轴上的原点，两折点的坐标分别为x，y，且x＜y，如图2-1-3所示，则样本空间为 S={(x，y)｜0＜x，y＜L，x＜y} 注意到3段长度依次为x，y-x，L-y，于是 [*] S是直角边为L的直角三角形，A是直角边为L/2的直角三角形，如图2-1-3所示．由几何概率的定义知，所求概率为P(A)=1/4． [*] 方法三 设x，y，z分别表示其中3段的长度，那么样本空间： S={(x，y)｜0＜x，y，z＜L，x+y+z=L} 且 A={(x，y)｜x+y＞z，y+z＞x，z+x＞y，x，y，z∈S} 于是S，A如图2-1-4所示．S为三角形ΔEFG，A为三角形ΔE’F’G’．易知ΔE’F’G’的面积为ΔEFG面积的1/4，故由几何概率的定义知，所求概率为 P(A)=ΔE’F’G’的面积/ΔEFG的面积=1/4 [*]
解析 这是一个几何概率问题，正确作图是解题的关键，并注意到三角形的3条边所满足的充要条件是任何两个边之和大于第三边．
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